Чтобы понять, откуда взялись натуральные числа и что они собой представляют, надо разобраться в том, что такое счёт предметов, измерение величин.
Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи:
1) Установить количество предметов в этом множестве, т.е. найти количественную оценку этого множества;
2) Установить определённый порядок между предметами этого множества.
Счёт, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы подсчитываемого множества сопоставляются, т.е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определённой совокупности (её называют стандартной). У большинства народов такой стандартной савокупностью служили пальцы рук, а иногда и пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки деревьев, узелки на верёвках, применялись неоторые предметы, например раковины, бобы и т. д.
выдающийся русский учёный - путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай (1846-1888) описывает, как производили счёт попуасы, жившие на островах Новой Гвинеи, так: "Излюбленный способ счёта состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например "бе, бе, бе...". досчитав до пяти, он говорит "ибон-бе" (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет "бе, бе, бе...", пока не доходит до "ибон-али" (две руки). Затем он идёт дальше проговаривая "бе, бе, бе...", пока не доходит "самба-бе" и "самба-али" (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук иног кого-нибудь другого." Первобытный человек мог подсчитать лишь небольшую совокупность предметов. Так, например, индийские племена в Бразилии считали только до пяти, т.е. до числа пальцев на одной руке.А все, что больше пяти они называли много, при этом они не осознавали, что есть общего, например, между двумя зайцами, двумя лодками, двумя рыбами и так далее. Вот почему для названия числа два или три использовались разные слова в зависимости от того, о каких двух или трех предметах шла речь.
Однако постепенно, на протяжении многих веков, в процессе совершенствования счета, человек начал осознавать то общее, что имееет три человека и три палки, вообще любые множества, имеющие три предмета. В результате образовались отвлеченные понятия "один", "два", "три" и так далее. Тем самым было создано отвлеченное стандартное множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4..., служащие для счета любых множеств.
Значит, 3-это отвлеченное число, а 3 шт. или 3 м.-это именованные числа.
Целые положительные числа. Основой наших представлений о числах являются интуитивные понятия множества, соответствия между множествами и бесконечной последовательности различимых знаков или звуков. Знакомая всем нам последовательность символов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... есть не что иное, как бесконечная последовательность различимых знаков и бесконечная последовательность различимых звуков (или слов) «один», «два», «три», «четыре», «пять», «шесть», «семь», «восемь», «девять», «десять», «одиннадцать», «двенадцать», ..., соответствующих определенным символам. Любое множество, все элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторого начального сегмента нашей бесконечной последовательности символов, называется конечным множеством. При этом на число элементов множества указывает последний символ сегмента. Например, множество предметов, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с начальным сегментом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, является конечным множеством, содержащим 8 («восемь») элементов. Символ 8 указывает на «число» предметов в исходном множестве. Это число есть символ, или ярлык, приписываемый данному множеству. Этот же ярлык приписывается всем тем и только тем множествам, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с данным множеством. Однозначное определение ярлыка для любого заданного конечного множества называется «пересчитыванием» элементов данного множества, а сами ярлыки получили название натуральных или целых положительных чисел
